单调队列
引入
在学习单调队列前,让我们先来看一道例题。
例题
Sliding Window
本题大意是给出一个长度为 的数组,编程输出每 个连续的数中的最大值和最小值。
最暴力的想法很简单,对于每一段 的序列,逐个比较来找出最大值(和最小值),时间复杂度约为 。
很显然,这其中进行了大量重复工作,除了开头 个和结尾 个数之外,每个数都进行了 次比较,而题中 的数据为 ,当 稍大的情况下,显然会 TLE。
这时所用到的就是单调队列了。
定义
顾名思义,单调队列的重点分为「单调」和「队列」。
「单调」指的是元素的「规律」——递增(或递减)。
「队列」指的是元素只能从队头和队尾进行操作。
Ps. 单调队列中的 "队列" 与正常的队列有一定的区别,稍后会提到
例题分析
解释
有了上面「单调队列」的概念,很容易想到用单调队列进行优化。
要求的是每连续的 个数中的最大(最小)值,很明显,当一个数进入所要 "寻找" 最大值的范围中时,若这个数比其前面(先进队)的数要大,显然,前面的数会比这个数先出队且不再可能是最大值。
也就是说——当满足以上条件时,可将前面的数 "弹出",再将该数真正 push 进队尾。
这就相当于维护了一个递减的队列,符合单调队列的定义,减少了重复的比较次数,不仅如此,由于维护出的队伍是查询范围内的且是递减的,队头必定是该查询区域内的最大值,因此输出时只需输出队头即可。
显而易见的是,在这样的算法中,每个数只要进队与出队各一次,因此时间复杂度被降到了 。
而由于查询区间长度是固定的,超出查询空间的值再大也不能输出,因此还需要 site 数组记录第 个队中的数在原数组中的位置,以弹出越界的队头。
过程
例如我们构造一个单调递增的队列会如下:
原序列为:
因为我们始终要维护队列保证其 递增 的特点,所以会有如下的事情发生:
操作 | 队列状态 |
---|
1 入队 | {1} |
3 比 1 大,3 入队 | {1 3} |
-1 比队列中所有元素小,所以清空队列 -1 入队 | {-1} |
-3 比队列中所有元素小,所以清空队列 -3 入队 | {-3} |
5 比 -3 大,直接入队 | {-3 5} |
3 比 5 小,5 出队,3 入队 | {-3 3} |
-3 已经在窗体外,所以 -3 出队;6 比 3 大,6 入队 | {3 6} |
7 比 6 大,7 入队 | {3 6 7} |
例题参考代码
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46 | #include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
constexpr int MAXN = 1000100;
using namespace std;
int q[MAXN], a[MAXN];
int n, k;
void getmin() { // 得到这个队列里的最小值,直接找到最后的就行了
int head = 0, tail = -1;
for (int i = 1; i < k; i++) {
while (head <= tail && a[q[tail]] >= a[i]) tail--;
q[++tail] = i;
}
for (int i = k; i <= n; i++) {
while (head <= tail && a[q[tail]] >= a[i]) tail--;
q[++tail] = i;
while (q[head] <= i - k) head++;
cout << a[q[head]] << ' ';
}
}
void getmax() { // 和上面同理
int head = 0, tail = -1;
for (int i = 1; i < k; i++) {
while (head <= tail && a[q[tail]] <= a[i]) tail--;
q[++tail] = i;
}
for (int i = k; i <= n; i++) {
while (head <= tail && a[q[tail]] <= a[i]) tail--;
q[++tail] = i;
while (q[head] <= i - k) head++;
cout << a[q[head]] << ' ';
}
}
int main() {
cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
cin >> n >> k;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
getmin();
cout << '\n';
getmax();
cout << '\n';
return 0;
}
|
Ps. 此处的 "队列" 跟普通队列的一大不同就在于可以从队尾进行操作,STL 中有类似的数据结构 deque。
例题 2 Luogu P2698 Flowerpot S
给出 滴水的坐标, 表示水滴的高度, 表示它下落到 轴的位置。每滴水以每秒 1 个单位长度的速度下落。你需要把花盆放在 轴上的某个位置,使得从被花盆接着的第 1 滴水开始,到被花盆接着的最后 1 滴水结束,之间的时间差至少为 。 我们认为,只要水滴落到 轴上,与花盆的边沿对齐,就认为被接住。给出 滴水的坐标和 的大小,请算出最小的花盆的宽度 。
将所有水滴按照 坐标排序之后,题意可以转化为求一个 坐标差最小的区间使得这个区间内 坐标的最大值和最小值之差至少为 。我们发现这道题和上一道例题有相似之处,就是都与一个区间内的最大值最小值有关,但是这道题区间的大小不确定,而且区间大小本身还是我们要求的答案。
我们依然可以使用一个递增,一个递减两个单调队列在 不断后移时维护 内的最大值和最小值,不过此时我们发现,如果 固定,那么 内的最大值只会越来越大,最小值只会越来越小,所以设 ,则 是个关于 的递增函数,故 。这说明对于每个固定的 ,向右第一个满足条件的 就是最优答案。 所以我们整体求解的过程就是,先固定 ,从前往后移动 ,使用两个单调队列维护 的最值。当找到了第一个满足条件的 ,就更新答案并将 也向后移动。随着 向后移动,两个单调队列都需及时弹出队头。这样,直到 移到最后,每个元素依然是各进出队列一次,保证了 的时间复杂度。
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40 | #include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
constexpr int N = 100005;
using ll = long long;
int mxq[N], mnq[N];
int D, ans, n, hx, rx, hn, rn;
struct la {
int x, y;
bool operator<(const la &y) const { return x < y.x; }
} a[N];
int main() {
cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
cin >> n >> D;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> a[i].x >> a[i].y;
sort(a + 1, a + n + 1);
hx = hn = 1;
ans = 2e9;
int L = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
while (hx <= rx && a[mxq[rx]].y < a[i].y) rx--;
mxq[++rx] = i;
while (hn <= rn && a[mnq[rn]].y > a[i].y) rn--;
mnq[++rn] = i;
while (L <= i && a[mxq[hx]].y - a[mnq[hn]].y >= D) {
ans = min(ans, a[i].x - a[L].x);
L++;
while (hx <= rx && mxq[hx] < L) hx++;
while (hn <= rn && mnq[hn] < L) hn++;
}
}
if (ans < 2e9)
cout << ans << '\n';
else
cout << "-1\n";
return 0;
}
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