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Stoer–Wagner 算法

定义

由于取消了 源汇点 的定义,我们需要对 的概念进行重定义。

(其实是网络流部分有关割的定义与维基百科不符,只是由于一般接触到的割都是「有源汇的最小割问题」,因此这个概念也就约定俗成了。)

去掉其中所有边能使一张网络流图不再连通(即分成两个子图)的边集称为图的割。

即:在无向图 中,设 为图 中一些弧的集合,若从 中删去 中的所有弧能使图 不是连通图,称 的一个割。

有源汇点的最小割问题

最小割 中的定义。

无源汇点的最小割问题

包含的弧的权和最小的割。也称为全局最小割。

显然,直接跑网络流的复杂度是行不通的。


Stoer–Wagner 算法

引入

Stoer–Wagner 算法在 1995 年由Mechthild StoerFrank Wagner提出,是一种通过 递归 的方式来解决 无向正权图 上的全局最小割问题的算法。

性质

算法复杂度 一般可近似看作

它的实现基于以下基本事实:设图 中有任意两点 。那么任意一个图 的割 ,或者有 在同一连通块中,或者有 是一个 割。

过程

  1. 在图 中任意指定两点 ,并且以这两点作为源汇点求出图 最小割(定义为cut of phase),更新当前答案。
  2. 「合并」点 ,如果图 大于 ,则回到第一步。
  3. 输出所有cut of phase的最小值。

合并两点 :删除 之间的连边 ,对于 中任意一点 ,删除 ,并将其边权 加到

解释:如果 在同一连通块,对于 中的一点 ,假如 ,那么 也一定成立,否则因为 连通, 连通,导致 在同一连通块,此时 将比 更优。反之亦然。所以 可以看作同一点。

步骤 1 考虑了 不在同一连通块的情形,步骤 2 考虑了剩余的情况。由于每次执行步骤 2 都会使 减小 ,因此算法将在进行 后结束。

S-T 最小割的求法

(显然不是网络流。)

假设进行若干次合并以后,当前图 ,执行步骤 1。

我们构造一个集合 ,初始时令

我们每次将 中所有点中,满足 ,且权值函数 最大的节点加入集合 ,直到

其中权值函数的定义:

(若 ,则 )。

容易知道所有点加入 的顺序是固定的,令 表示第 个加入 的点, 表示 被加入 的大小,即 被加入的顺序。

则对任意点 ,一个 的割即为

证明

定义一个点 被激活,当且仅当 在加入 中时,发现在 此时最后一个点 早于 加入集合,并且在图 中, 不在同一连通块。

Stoer-Wagner1

如图,蓝色区域和黄色区域为两个不同的连通块,方括号中的数字为加入 的顺序。灰色节点为活跃节点,白色节点则不是活跃节点。

定义 ,也就是严格早于 加入 的点,令 的诱导子图(点集为 )的边集。(注意包含点 。)

定义诱导割

Lemma 1

对于任何被激活的点

证明:使用数学归纳法。

对于第一个被激活的点 ,由定义可知

对于之后两个被激活的点 ,假设 ,则有:

又,已知:

并且 联立可得:

由于 有贡献而对 没有贡献,在所有边均为正权的情况下,可导出:

由归纳法得证。

由于 ,并且 不在同一连通块,因此 会被激活,由此可以得出

P5632【模板】Stoer–Wagner 算法
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 601;
int fa[N], siz[N], edge[N][N];

int find(int x) { return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]); }

int dist[N], vis[N], bin[N];
int n, m;

int contract(int &s, int &t) {  // Find s,t
  memset(dist, 0, sizeof(dist));
  memset(vis, false, sizeof(vis));
  int i, j, k, mincut, maxc;
  for (i = 1; i <= n; i++) {
    k = -1;
    maxc = -1;
    for (j = 1; j <= n; j++)
      if (!bin[j] && !vis[j] && dist[j] > maxc) {
        k = j;
        maxc = dist[j];
      }
    if (k == -1) return mincut;
    s = t;
    t = k;
    mincut = maxc;
    vis[k] = true;
    for (j = 1; j <= n; j++)
      if (!bin[j] && !vis[j]) dist[j] += edge[k][j];
  }
  return mincut;
}

const int inf = 0x3f3f3f3f;

int Stoer_Wagner() {
  int mincut, i, j, s, t, ans;
  for (mincut = inf, i = 1; i < n; i++) {
    ans = contract(s, t);
    bin[t] = true;
    if (mincut > ans) mincut = ans;
    if (mincut == 0) return 0;
    for (j = 1; j <= n; j++)
      if (!bin[j]) edge[s][j] = (edge[j][s] += edge[j][t]);
  }
  return mincut;
}

int main() {
  ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
  cin >> n >> m;
  if (m < n - 1) {
    cout << 0;
    return 0;
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i) fa[i] = i, siz[i] = 1;
  for (int i = 1, u, v, w; i <= m; ++i) {
    cin >> u >> v >> w;
    int fu = find(u), fv = find(v);
    if (fu != fv) {
      if (siz[fu] > siz[fv]) swap(fu, fv);
      fa[fu] = fv, siz[fv] += siz[fu];
    }
    edge[u][v] += w, edge[v][u] += w;
  }
  int fr = find(1);
  if (siz[fr] != n) {
    cout << 0;
    return 0;
  }
  cout << Stoer_Wagner();
  return 0;
}

复杂度分析与优化

contract操作的复杂度为

一共进行 contract,总复杂度为

根据 最短路 的经验,算法瓶颈在于找到权值最大的点。

在一次contract中需要找 次堆顶,并递增地修改 次权值。

斐波那契堆 可以胜任 查找堆顶和 递增修改权值的工作,理论复杂度可以达到 ,但是由于斐波那契堆常数过大,码量高,实际应用价值偏低。

(实际测试中开 O2 还要卡评测波动才能过。)