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树基础

引入

图论中的树和现实生活中的树长得一样,只不过我们习惯于处理问题的时候把树根放到上方来考虑。这种数据结构看起来像是一个倒挂的树,因此得名。

定义

一个没有固定根结点的树称为 无根树(unrooted tree)。无根树有几种等价的形式化定义:

  • 个结点, 条边的连通无向图

  • 无向无环的连通图

  • 任意两个结点之间有且仅有一条简单路径的无向图

  • 任何边均为桥的连通图

  • 没有圈,且在任意不同两点间添加一条边之后所得图含唯一的一个圈的图

在无根树的基础上,指定一个结点称为 ,则形成一棵 有根树(rooted tree)。有根树在很多时候仍以无向图表示,只是规定了结点之间的上下级关系,详见下文。

有关树的定义

适用于无根树和有根树

  • 森林(forest):每个连通分量(连通块)都是树的图。按照定义,一棵树也是森林。

  • 生成树(spanning tree):一个连通无向图的生成子图,同时要求是树。也即在图的边集中选择 条,将所有顶点连通。

  • 无根树的叶结点(leaf node):度数不超过 的结点。

    为什么不是度数恰为

    考虑

  • 有根树的叶结点(leaf node):没有子结点的结点。

只适用于有根树

  • 父亲(parent node):对于除根以外的每个结点,定义为从该结点到根路径上的第二个结点。
    根结点没有父结点。
  • 祖先(ancestor):一个结点到根结点的路径上,除了它本身外的结点。
    根结点的祖先集合为空。
  • 子结点(child node):如果 的父亲,那么 的子结点。
    子结点的顺序一般不加以区分,二叉树是一个例外。
  • 结点的深度(depth):到根结点的路径上的边数。
  • 树的高度(height):所有结点的深度的最大值。
  • 兄弟(sibling):同一个父亲的多个子结点互为兄弟。
  • 后代(descendant):子结点和子结点的后代。
    或者理解成:如果 的祖先,那么 的后代。

tree-definition.svg

  • 子树(subtree):删掉与父亲相连的边后,该结点所在的子图。

    tree-definition-subtree.svg

特殊的树

  • 链(chain/path graph):满足与任一结点相连的边不超过 条的树称为链。

  • 菊花/星星(star):满足存在 使得所有除 以外结点均与 相连的树称为菊花。

  • 有根二叉树(rooted binary tree):每个结点最多只有两个儿子(子结点)的有根树称为二叉树。常常对两个子结点的顺序加以区分,分别称之为左子结点和右子结点。
    大多数情况下,二叉树 一词均指有根二叉树。

  • 完整二叉树(full/proper binary tree):每个结点的子结点数量均为 0 或者 2 的二叉树。换言之,每个结点或者是树叶,或者左右子树均非空。

  • 完全二叉树(complete binary tree):只有最下面两层结点的度数可以小于 2,且最下面一层的结点都集中在该层最左边的连续位置上。

  • 完美二叉树(perfect binary tree):所有叶结点的深度均相同,且所有非叶节点的子节点数量均为 2 的二叉树称为完美二叉树。

Warning

Proper binary tree 的汉译名称不固定,且完全二叉树和满二叉树的定义在不同教材中定义不同,遇到的时候需根据上下文加以判断。

OIers 所说的「满二叉树」多指完美二叉树。

存储

只记录父结点

用一个数组 parent[N] 记录每个结点的父亲结点。

这种方式可以获得的信息较少,不便于进行自顶向下的遍历。常用于自底向上的递推问题中。

邻接表

  • 对于无根树:为每个结点开辟一个线性列表,记录所有与之相连的结点。
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    std::vector<int> adj[N];
    
  • 对于有根树:
    • 方法一:若给定的是无向图,则仍可以上述形式存储。下文将介绍如何区分结点的上下关系。
    • 方法二:若输入数据能够确保结点的上下关系,则可以利用这个信息。为每个结点开辟一个线性列表,记录其所有子结点;若有需要,还可在另一个数组中记录其父结点。
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      2
      std::vector<int> children[N];
      int parent[N];
      
      当然也可以用其他方式(如链表)替代 std::vector

左孩子右兄弟表示法

过程

对于有根树,存在一种简单的表示方法。

首先,给每个结点的所有子结点任意确定一个顺序。

此后为每个结点记录两个值:其 第一个子结点 child[u] 和其 下一个兄弟结点 sib[u]。若没有子结点,则 child[u] 为空;若该结点是其父结点的最后一个子结点,则 sib[u] 为空。

实现

遍历一个结点的所有子结点可由如下方式实现。

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int v = child[u];  // 从第一个子结点开始
while (v != EMPTY_NODE) {
  // ...
  // 处理子结点 v
  // ...
  v = sib[v];  // 转至下一个子结点,即 v 的一个兄弟
}

也可简写为以下形式。

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for (int v = child[u]; v != EMPTY_NODE; v = sib[v]) {
  // ...
  // 处理子结点 v
  // ...
}

二叉树

需要记录每个结点的左右子结点。

实现
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int parent[N];
int lch[N], rch[N];
// -- or --
int child[N][2];

树的遍历

树上 DFS

在树上 DFS 是这样的一个过程:先访问根节点,然后分别访问根节点每个儿子的子树。

可以用来求出每个节点的深度、父亲等信息。

二叉树 DFS 遍历

先序遍历

preorder

按照 根,左,右 的顺序遍历二叉树。

实现
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void preorder(BiTree* root) {
  if (root) {
    cout << root->key << " ";
    preorder(root->left);
    preorder(root->right);
  }
}

中序遍历

inorder

按照 左,根,右 的顺序遍历二叉树。

实现
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void inorder(BiTree* root) {
  if (root) {
    inorder(root->left);
    cout << root->key << " ";
    inorder(root->right);
  }
}

后序遍历

postorder

按照 左,右,根 的顺序遍历二叉树。

实现
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void postorder(BiTree* root) {
  if (root) {
    postorder(root->left);
    postorder(root->right);
    cout << root->key << " ";
  }
}

反推

已知中序遍历序列和另外一个序列可以求第三个序列。

reverse

  1. 前序的第一个是 root,后序的最后一个是 root
  2. 先确定根节点,然后根据中序遍历,在根左边的为左子树,根右边的为右子树。
  3. 对于每一个子树可以看成一个全新的树,仍然遵循上面的规律。

树上 BFS

从树根开始,严格按照层次来访问节点。

BFS 过程中也可以顺便求出各个节点的深度和父亲节点。

树的层序遍历

树层序遍历是指按照从根节点到叶子节点的层次关系,一层一层的横向遍历各个节点。根据 BFS 的定义可以知道,BFS 所得到的遍历顺序就是一种层序遍历。但层序遍历要求将不同的层次区分开来,所以其结果通常以二维数组的形式表示。

例如,下图的树的层序遍历的结果是 [[1], [2, 3, 4], [5, 6]](每一层从左向右)。

tree-basic-levelOrder

实现
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vector<vector<int>> levelOrder(Node* root) {
  if (!root) {
    return {};
  }
  vector<vector<int>> res;
  queue<Node*> q;
  q.push(root);
  while (!q.empty()) {
    int currentLevelSize = q.size();  // 当前层的节点个数
    res.push_back(vector<int>());
    for (int i = 0; i < currentLevelSize; ++i) {
      Node* cur = q.front();
      q.pop();
      res.back().push_back(cur->val);
      for (Node* child : cur->children) {  // 把子节点都加入
        q.push(child);
      }
    }
  }
  return res;
}

二叉树 Morris 遍历

二叉树遍历的核心问题是,当遍历当前节点的子节点后,如何返回当前节点并继续遍历。遍历二叉树的递归方法和非递归方法都使用了栈结构,记录返回路径,来实现从下层到上层的移动。其空间复杂度最好时为 ,最坏时为 (二叉树呈线性)。

Morris 遍历的实质是避免使用栈,利用底层节点空闲的 right 指针指回上层的某个节点,从而完成下层到上层的移动。

Morris 遍历的过程

假设来到当前节点 cur,开始时来到根节点位置。

  1. 如果 cur 为空时遍历停止,否则进行以下过程。
  2. 如果 cur 没有左子树,cur 向右移动(cur = cur->right)。
  3. 如果 cur 有左子树,找到左子树上最右的节点,记为 mostRight
    • 如果 mostRightright 指针指向空,让其指向 cur,然后 cur 向左移动(cur = cur->left)。
    • 如果 mostRightright 指针指向 cur,将其修改为 null,然后 cur 向右移动(cur = cur->right)。

例如,cur 从节点 1 开始访问。

tree-basic-morris-1

cur 第一次访问节点 2 时,找到左子树上最右的节点 4,将 4 的 right 指针指向 cur(节点 2)。

tree-basic-morris-2

cur 通过 4 的 right 指针返回上层,第二次访问节点 2 时,找到左子树上最右节点 4,将 4 的 right 指针修改为 null,然后继续访问右子树。之后的过程省略。

tree-basic-morris-1

整棵树的访问顺序是 1242513637。可以发现有左子树的节点访问两次,没有左子树的节点只访问一次。

实现
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void morris(TreeNode* root) {
  TreeNode* cur = root;
  while (cur) {
    if (!cur->left) {
      // 如果当前节点没有左子节点,则输出当前节点的值并进入右子树
      std::cout << cur->val << " ";
      cur = cur->right;
      continue;
    }
    // 找到当前节点的左子树的最右节点
    TreeNode* mostRight = cur->left;
    while (mostRight->right && mostRight->right != cur) {
      mostRight = mostRight->right;
    }
    if (!mostRight->right) {
      // 如果最右节点的right指针为空,将其指向当前节点,并进入左子树
      mostRight->right = cur;
      cur = cur->left;
    } else {
      // 如果最右节点的right指针指向当前节点,说明左子树已经遍历完毕,输出当前节点的值并进入右子树
      mostRight->right = nullptr;
      std::cout << cur->val << " ";
      cur = cur->right;
    }
  }
}

无根树

过程

树的遍历一般为深度优先遍历,这个过程中最需要注意的是避免重复访问结点。

由于树是无环图,因此只需记录当前结点是由哪个结点访问而来,此后进入除该结点外的所有相邻结点,即可避免重复访问。

实现
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void dfs(int u, int from) {
  // 递归进入除了 from 之外的所有子结点
  // 对于出发结点,from 为空,故会访问所有相邻结点,这与期望一致
  for (int v : adj[u])
    if (v != from) {
      dfs(v, u);
    }
}

// 开始遍历时
int EMPTY_NODE = -1;  // 一个不存在的编号
int root = 0;         // 任取一个结点作为出发点
dfs(root, EMPTY_NODE);

有根树

对于有根树,需要区分结点的上下关系。

考察上面的遍历过程,若从根开始遍历,则访问到一个结点时 from 的值,就是其父结点的编号。

通过这个方式,可以对于无向的输入求出所有结点的父结点,以及子结点列表。

本页面部分内容引用自博文 二叉树:前序遍历、中序遍历、后续遍历,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议。