树的直径

树上任意两节点之间最长的简单路径即为树的「直径」。

前置知识:树基础

引入

显然,一棵树可以有多条直径,他们的长度相等。

可以用两次 DFS 或者树形 DP 的方法在 时间求出树的直径。

例题

SPOJ PT07Z, Longest path in a tree

给定一棵 个节点的树,求其直径的长度。

做法 1. 两次 DFS

过程

首先从任意节点 开始进行第一次 DFS,到达距离其最远的节点,记为 ,然后再从 开始做第二次 DFS,到达距离 最远的节点,记为 ,则 即为树的直径。

显然,如果第一次 DFS 到达的节点 是直径的一端,那么第二次 DFS 到达的节点 一定是直径的一端。我们只需证明在任意情况下, 必为直径的一端。

定理:在一棵树上,从任意节点 开始进行一次 DFS,到达的距离其最远的节点 必为直径的一端。

证明

使用反证法。记出发节点为 。设真实的直径是 ,而从 进行的第一次 DFS 到达的距离其最远的节点 不为 。共分三种情况:

  • 上:

y 在 s-t 上

,与 为树上任意两节点之间最长的简单路径矛盾。

  • 不在 上,且 存在重合路径:

y 不在 s-t 上,y-z 与 s-t 存在重合路径

,与 为树上任意两节点之间最长的简单路径矛盾。

  • 不在 上,且 不存在重合路径:

y 不在 s-t 上,y-z 与 s-t 不存在重合路径

,与 为树上任意两节点之间最长的简单路径矛盾。

综上,三种情况下假设均会产生矛盾,故原定理得证。

负权边

上述证明过程建立在所有路径均不为负的前提下。如果树上存在负权边,则上述证明不成立。故若存在负权边,则无法使用两次 DFS 的方式求解直径。

实现

代码实现如下。

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const int N = 10000 + 10;

int n, c, d[N];
vector<int> E[N];

void dfs(int u, int fa) {
  for (int v : E[u]) {
    if (v == fa) continue;
    d[v] = d[u] + 1;
    if (d[v] > d[c]) c = v;
    dfs(v, u);
  }
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int u, v;
    scanf("%d %d", &u, &v);
    E[u].push_back(v), E[v].push_back(u);
  }
  dfs(1, 0);
  d[c] = 0, dfs(c, 0);
  printf("%d\n", d[c]);
  return 0;
}

如果需要求出一条直径上所有的节点,则可以在第二次 DFS 的过程中,记录每个点的前序节点,即可从直径的一端一路向前,遍历直径上所有的节点。

做法 2. 树形 DP

过程

我们记录当 为树的根时,每个节点作为子树的根向下,所能延伸的最远距离 ,和次远距离 ,那么直径就是所有 的最大值。

树形 DP 可以在存在负权边的情况下求解出树的直径。

实现

代码实现如下。

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const int N = 10000 + 10;

int n, d = 0;
int d1[N], d2[N];
vector<int> E[N];

void dfs(int u, int fa) {
  d1[u] = d2[u] = 0;
  for (int v : E[u]) {
    if (v == fa) continue;
    dfs(v, u);
    int t = d1[v] + 1;
    if (t > d1[u])
      d2[u] = d1[u], d1[u] = t;
    else if (t > d2[u])
      d2[u] = t;
  }
  d = max(d, d1[u] + d2[u]);
}

int main() {
  scanf("%d", &n);
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    int u, v;
    scanf("%d %d", &u, &v);
    E[u].push_back(v), E[v].push_back(u);
  }
  dfs(1, 0);
  printf("%d\n", d);
  return 0;
}

如果需要求出一条直径上所有的节点,则可以在 DP 的过程中,记录下每个节点能向下延伸的最远距离与次远距离所对应的子节点,之后再找到对应的 ,使得 ,即可分别沿着从 开始的最远距离和次远距离对应的子节点一路向下,遍历直径上所有的节点。

性质

若树上所有边边权均为正,则树的所有直径中点重合

证明:使用反证法。设两条中点不重合的直径分别为 ,中点分别为 。显然,

无负权边的树所有直径的中点重合

,与 为树上任意两节点之间最长的简单路径矛盾,故性质得证。

习题


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