对角化

特征子空间

矩阵 的属于 的全部特征向量,再添上零向量,构成一个线性空间,称为矩阵 的一个特征子空间,记为 。它是齐次线性方程组:

的解空间。

对于特征子空间 ,由亏加秩定理有:

因此,特征子空间 的维数为:

也称为 几何重数

不变子空间

在研究线性变换 的时候,常常希望选取空间 的一个基,使得线性变换 对于这个基的矩阵具有尽可能简单的形状。

是数域 上的线性空间, 的一个子空间, 上的一个线性变换。如果对于 中任意的向量 ,都有 也在 中(也称为空间在变换下不变或稳定),称 的一个不变子空间。

空间在变换下不变,并不是说坐标在变换下真的“不变”,有可能是进行了一个拉伸等变形,只是变形后还落在空间里。

  • 线性空间 的任意一个子空间都是数乘变换的不变子空间。
  • 对于 中任意的线性变换 ,空间 和零子空间都是 的不变子空间,称为平凡不变子空间。
  • 不变子空间的交与和也是不变子空间。

是线性变换 的一个不变子空间。只考虑 在不变子空间 上的作用,就得到子空间 本身的线性变换,称为 在子空间 上的限制,记作

对于 中任意的线性变换 ,像空间 与核空间 的不变子空间。这两种情况的含义是,空间 在变换前后,完成了自身的压缩(像空间),或者压缩到 (核空间)。

对于 中任意的线性变换 的特征子空间是 的不变子空间。

准素分解

根据代数基本定理,最小多项式可以分解为:

考虑最小多项式代入变元 为矩阵 后,各个因式的核空间,构成矩阵 的一系列不变子空间:

定理:该不变子空间 的维数,恰好为特征值 的代数重数。

回顾一下,代数重数是指特征多项式各个因式的次数,几何重数是指特征子空间 的维数。这个不变子空间 与特征子空间 ,两者都是矩阵的核空间,并且两个矩阵构成最小多项式 次幂的关系。也就是说,特征子空间的维数是几何重数,“特征子空间”经过最小多项式 次幂后到达一个“不变子空间”,不变子空间的维数到达了特征多项式的代数重数。

该定理其实是下面准素分解定理的推论。

记矩阵 对应的线性变换 ,在每个子空间 上的限制 。于是 的最小多项式是

定理:设 是域 上的线性空间, 上的一个线性变换。那么空间 可以关于线性变换 进行准素分解,拆成若干不变子空间 的直和。

这意味着, 在某组基下的矩阵是准对角阵:

其中, 在对应基下的矩阵。

该定理表明,可以使用不变子空间简化线性变换的矩阵。

可对角化矩阵

对于 阶方阵 ,如果相似于一个对角阵,则称 为可对角化矩阵,或称单纯矩阵。

  • 对角阵的和、积、逆,如果存在,仍然是对角阵,其对角线上的元素就是它的特征值。
  • 线性变换 的矩阵为可对角化矩阵,等价于 在某组基下的矩阵为对角阵。

定理:设矩阵 的全部互异特征根为 ,则以下命题等价:

  • 矩阵 可对角化。
  • 矩阵 个线性无关的特征向量。
  • 以下公式成立:

前文已经指出,特征多项式的分解式中特征值的次数称为代数重数,特征子空间的维数称为几何重数。这个定理也表明,矩阵 可对角化,等价于 的每个特征值 的代数重数都等于它的几何重数。

推论:如果 阶方阵 恰有 个互异特征值,则它必可对角化。反之则不一定。

定理:矩阵 可对角化当且仅当 的最小多项式没有重根。

矩阵的相似也会保持特征向量之间的线性相关关系不变。

特征向量完全可能不是实数,也完全可能找不到 个线性无关的特征向量。

对于重特征值而言,特征向量张成空间。为了描述这个空间,需要从其中选择代表。一般会选择线性无关的代表,代表的个数就是空间的维数。

选取代表时,常常将它们正交化与单位化。最终得到的就是一套单位正交的代表。

特征向量不一定正交,不同特征值的特征向量,可能无法正交。因此正交化只能对于重特征值的特征向量进行。但是单位化可以对任意特征向量进行。

幂零矩阵

是空间 的一个线性变换。如果存在一个正整数 ,使得 为零变换,称 是空间 的一个幂零变换。

对于某一个正整数 ,满足条件 的矩阵称为幂零矩阵。

一般可以进一步假定 是使 为零变换的最小正整数,于是 的最小多项式是 。于是存在一个向量 ,使得:

循环子空间

定理:设 是空间 的一个线性变换, 是空间 的一个向量。如果存在一个正整数 ,使得:

那么向量 线性无关。

由这个定理可以给出一个定义:

是空间 的一个线性变换, 的一个子空间。如果存在一个向量 和一个正整数 ,使得:

  • 向量 构成 的一个基。
  • 如下等式成立:

那么子空间 称为关于 的一个循环子空间,简称 循环子空间。此时 称为循环子空间 的一个生成向量,向量 称为 的一个循环基。

显然,一个 循环子空间 作用下不变,并且对于循环子空间 中的任意向量 ,均有 ,这里 为循环子空间的维数。

幂零 Jordan 块

如果空间 是变换 的循环子空间,那么 上的限制 的一个幂零变换,并且 关于 的倒序排列的循环基 的矩阵是如下形状的 阶上三角矩阵:

矩阵 称为一个 阶幂零 Jordan 矩阵,或者 阶幂零 Jordan 块。

维空间 的一个幂零变换,把出现在 关于 的循环子空间的分解中,唯一确定的一组正整数 叫做 的不变指数。

对于 阶幂零矩阵 与一个上述形状的矩阵 相似,也唯一确定一个正整数序列 ,称为矩阵 的不变指数。

幂零阵虽然不能和对角阵相似,但是可以相似于这样的标准形式。在 Jordan 标准型,将相似对角化与幂零阵的标准形式,二者结合起来,给出一般的矩阵通过相似变换可以达到的标准形式。

一些定理

  1. 是空间 的一个幂零变换,而

    是一个多项式,那么当且仅当 时,线性变换 有逆变换。当 可逆时, 的逆变换也是 的一个多项式。

  2. 是空间 的一个幂零变换, 是一个 循环子空间, 中的向量。如果存在一个整数 ,使得

    那么存在 中的向量 ,使得

  3. 维空间 的一个幂零变换, 的最小多项式,令 是一个 循环子空间,那么存在 的一个余子空间 ,使得:

    并且 也在 作用下不变。

  4. 维空间 的一个幂零变换,那么 可以分解为 循环子空间的直和:

  5. 每一个 阶幂零矩阵都与一个形如:

    的矩阵相似,这里的每一个 是一个 阶幂零 Jordan 块。

  6. 如果规定 循环子空间 按照维数 降序排列 ,那么将 分解为 循环子空间的方法是由 唯一确定的。


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