向量
在本文之前,特别说明一下翻译的相关问题。由于历史原因,数学学科和物理学科关于「vector」一词的翻译不同。
在物理学科,一般翻译成「矢量」,并且与「标量」一词相对。在数学学科,一般翻译成「向量」。这种翻译的差别还有「本征」与「特征」、「幺正」与「酉」,等等。
在 OI Wiki,主要面向计算机等工程类相关学科,与数学学科关系更近一些,因此采用「向量」这个词汇。
定义及相关概念
向量:既有大小又有方向的量称为向量。数学上研究的向量为 自由向量,即只要不改变它的大小和方向,起点和终点可以任意平行移动的向量。记作
有向线段:带有方向的线段称为有向线段。有向线段有三要素:起点,方向,长度,知道了三要素,终点就唯一确定。一般使用有向线段表示向量。
向量的模:有向线段
零向量:模为
单位向量:模为
平行向量:方向相同或相反的两个 非零 向量。记作:
相等向量:模相等且方向相同的向量。
相反向量:模相等且方向相反的向量。
向量的夹角:已知两个非零向量
注意到平面向量具有方向性,两个向量不能比较大小(但可以比较两向量的模长)。但是两个向量可以相等。
向量的线性运算
向量的加减法
在定义了一种量之后,就希望让它具有运算。向量的运算可以类比数的运算,从物理学的角度出发也可以研究向量的运算。
类比物理学中的位移概念,假如一个人从
注意到力的合成法则——平行四边形法则,同样也可以看做一些向量相加。
整理一下向量的加法法则:
- 向量加法的三角形法则:若要求和的向量首尾顺次相连,那么这些向量的和为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点;
- 向量加法的平行四边形法则:若要求和的两个向量 共起点,那么它们的和向量为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线,起点为两个向量共有的起点,方向沿平行四边形对角线方向。
这样,向量的加法就具有了几何意义。并且可以验证,向量的加法满足 交换律与结合律。
因为实数的减法可以写成加上相反数的形式,考虑在向量做减法时也这么写。即:
这样,考虑共起点的向量,按照平行四边形法则做出它们的差,经过平移后可以发现 「共起点向量的差向量」是由「减向量」指向「被减向量」的有向线段。这也是向量减法的几何意义。
有时候有两点
向量的数乘
规定「实数
;- 当
时, 与 同向,当 时, ,当 时, 与 方向相反。
根据数乘的定义,可以验证有如下运算律:
特别地:
判定两向量共线
两个 非零 向量
证明:由数乘的定义可知,对于 非零 向量
反过来,如果
最后,向量的加,减,数乘统称为向量的线性运算。
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量基本定理
定理内容:如果两个向量
平面向量那么多,怎样用尽可能少的量表示出所有平面向量?
只用一个向量表示出所有向量显然是不可能的,最多只能表示出某条直线上的向量。
再加入一个向量,用两个 不共线 向量表示(两个共线向量在此可以看成同一个向量),这样可以把任意一个平面向量分解到这两个向量的方向上了。
在同一平面内的两个不共线的向量称为 基底。如果基底相互垂直,那么在分解的时候就是对向量 正交分解。
平面向量的坐标表示
如果取与横轴与纵轴方向相同的单位向量
而有序实数对
平面向量的坐标运算
平面向量线性运算
由平面向量的线性运算可以推导其坐标运算,主要方法是将坐标全部化为用基底表示,然后利用运算律进行合并,之后表示出运算结果的坐标形式。
若两向量
求一个向量的坐标表示
已知两点
平移一点
有时需要将一个点
三点共线的判定
若
三点共线判定的拓展
在三角形
在三维空间中的拓展(立体几何/空间向量)
在空间中,以上部分所述的所有内容均成立。更有:
空间向量基本定理
定理内容:如果两个向量
共面向量基本定理
如果存在两个不共线的向量
法向量
对于一个面
计算方法:任取两个面内直线
扩展
向量与矩阵
矩阵运算的相关法则与向量运算相似,于是考虑将向量写成矩阵形式,这样就将向量问题化为矩阵问题了。详细内容请参考线性代数。
向量旋转
设
由三角恒等变换得,
化简,
把上面的
即使不知道三角恒等变换,这个式子也很容易记下来。
向量的更严格定义
上文中,向量被定义为了空间中的有向线段。但是严格来说,向量不仅是有向线段。要作出向量的更严格定义,需要先定义 线性空间,具体内容参见 线性空间 页面的介绍。
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