同余方程
定义
同余方程
对正整数 𝑚
和一元整系数多项式 𝑓(𝑥) =∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑥𝑖
,其中未知数 𝑥 ∈𝐙𝑚
,称形如
𝑓(𝑥)≡0(mod𝑚)(1)
的方程为关于未知数 𝑥
的模 𝑚
的一元 同余方程(Congruence Equation).
若 𝑎𝑛 ≢0(mod𝑚)
,则称上式为 𝑛
次同余方程.
类似可定义同余方程组.
关于一次同余方程与方程组的相关内容请参见 线性同余方程 与 中国剩余定理.
本文首先研究同余方程的可解性和解集结构,之后会简要介绍高次同余方程的解法.
由 中国剩余定理 可知,求解关于模合数 𝑚
的同余方程可转化为求解模素数幂次的情况.故以下只介绍素数幂模同余方程和素数模同余方程的相关理论.
素数幂模同余方程
以下假设模数 𝑚 =𝑝𝑒 (𝑝 ∈𝐏, 𝑒 ∈𝐙>1)
.
注意到,若 𝑥0
是方程
𝑓(𝑥)≡0(mod𝑝𝑒)
的解,则 𝑥0
是方程
𝑓(𝑥)≡0(mod𝑝𝑒−1)
的解.这启发我们尝试通过较低的模幂次的解去构造较高的模幂次的解.我们有如下定理:
定理 1(Hensel 引理)
对素数 𝑝
和整数 𝑒 >1
,取整系数多项式 𝑓(𝑥) =∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑥𝑖 (𝑝𝑒 ∤𝑎𝑛)
,令 𝑓′(𝑥) =∑𝑛𝑖=1𝑖𝑎𝑖𝑥𝑖−1
为其导数.令 𝑥0
为方程
𝑓(𝑥)≡0(mod𝑝𝑒−1)(2)
的解,则:
若 𝑓′(𝑥0) ≢0(mod𝑝)
,则存在整数 𝑡
使得
𝑥=𝑥0+𝑝𝑒−1𝑡(3)
是方程
𝑓(𝑥)≡0(mod𝑝𝑒)(4)
的解.
若 𝑓′(𝑥0) ≡0(mod𝑝)
且 𝑓(𝑥0) ≡0(mod𝑝𝑒)
,则对 𝑡 =0,1,…,𝑝 −1
,由式 (3)
确定的 𝑥
均为方程 (4)
的解.
- 若 𝑓′(𝑥0) ≡0(mod𝑝)
且 𝑓(𝑥0) ≢0(mod𝑝𝑒)
,则不能由式 (3)
构造方程 (4)
的解.
证明
我们假设式 (3)
是方程 (4)
的解,即
𝑓(𝑥0+𝑝𝑒−1𝑡)≡0(mod𝑝𝑒)
整理后可得
𝑓(𝑥0)+𝑝𝑒−1𝑡𝑓′(𝑥0)≡0(mod𝑝𝑒)
于是
𝑡𝑓′(𝑥0)≡−𝑓(𝑥0)𝑝𝑒−1(mod𝑝)(5)
- 若 𝑓′(𝑥0) ≢0(mod𝑝)
,则关于 𝑡
的方程 (5)
有唯一解 𝑡0
,代入式 (3)
可验证其为方程 (4)
的解. - 若 𝑓′(𝑥0) ≡0(mod𝑝)
且 𝑓(𝑥0) ≡0(mod𝑝𝑒)
,则任意 𝑡
均能使方程 (5)
成立,代入式 (3)
可验证其均为方程 (4)
的解. - 若 𝑓′(𝑥0) ≡0(mod𝑝)
且 𝑓(𝑥0) ≢0(mod𝑝𝑒)
,则方程 (5)
无解,从而不能由式 (3)
构造方程 (4)
的解.
进而我们有推论:
推论 1
对 定理 1 的 𝑝
,𝑒
,𝑓(𝑥)
,𝑥0
,
- 若 𝑠
是方程 𝑓(𝑥) ≡0(mod𝑝)
的解,且 𝑓′(𝑠) ≢0(mod𝑝)
,则存在 𝑥𝑠 ∈𝐙𝑝𝑒
,𝑥𝑠 ≡𝑠(mod𝑝)
使得 𝑥𝑠
是方程 (4)
的解. - 若方程 𝑓(𝑥) ≡0(mod𝑝)
与 𝑓′(𝑥) ≡0(mod𝑝)
无公共解,则方程 (4)
和方程 𝑓(𝑥) ≡0(mod𝑝)
的解数相同.
从而我们可以将素数幂模同余方程化归到素数模同余方程的情况.
素数模同余方程
以下令 𝑝 ∈𝐏
,整系数多项式 𝑓(𝑥) =∑𝑛𝑖=0𝑎𝑖𝑥𝑖
,其中 𝑝 ∤𝑎𝑛
,𝑥 ∈𝐙𝑝
.
定理 2
若方程
𝑓(𝑥)≡0(mod𝑝)(6)
有 𝑘
个不同的解 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑘 (𝑘 ≤𝑛)
,则
𝑓(𝑥)≡𝑔(𝑥)𝑘∏𝑖=1(𝑥−𝑥𝑖)(mod𝑝),
其中 deg𝑔 =𝑛 −𝑘
且 [𝑥𝑛−𝑘]𝑔(𝑥) =𝑎𝑛
.
证明
对 𝑘
应用数学归纳法.
当 𝑘 =1
时,做多项式带余除法,有 𝑓(𝑥) =(𝑥 −𝑥1)𝑔(𝑥) +𝑟
,其中 𝑟 ∈𝐙
.
由 𝑓(𝑥1) ≡0(mod𝑝)
可知 𝑟 ≡0(mod𝑝)
,从而 𝑓(𝑥) ≡(𝑥 −𝑥1)𝑔(𝑥)(mod𝑝)
.
假设命题对 𝑘 −1
(𝑘 >1
) 时的情况成立,现在设 𝑓(𝑥)
有 𝑘
个不同的解 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑘
,则 𝑓(𝑥) ≡(𝑥 −𝑥1)ℎ(𝑥)(mod𝑝)
,进而有
(∀𝑖=2,3,…,𝑘), 0≡𝑓(𝑥𝑖)≡(𝑥𝑖−𝑥1)ℎ(𝑥𝑖)(mod𝑝)
从而 ℎ(𝑥)
有 𝑘 −1
个不同的解 𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑘
,由归纳假设有
ℎ(𝑥)≡𝑔(𝑥)𝑘∏𝑖=2(𝑥−𝑥𝑖)(mod𝑝)
其中 deg𝑔 =𝑛 −𝑘
且 [𝑥𝑛−𝑘]𝑔(𝑥) =𝑎𝑛
.
因此命题得证.
推论 2
对素数 𝑝
,
- (∀𝑥 ∈𝐙), 𝑥𝑝−1 −1 ≡∏𝑝−1𝑖=1(𝑥 −𝑖)(mod𝑝)
. - (Wilson 定理)(𝑝 −1)! ≡ −1(mod𝑝)
.
定理 3(Lagrange 定理)
方程 (6)
至多有 𝑛
个不同解.
证明
假设 𝑓(𝑥)
有 𝑛 +1
个不同解 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛+1
,则由 定理 2,对 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛
有
𝑓(𝑥)≡𝑎𝑛𝑛∏𝑖=1(𝑥−𝑥𝑖)(mod𝑝)
令 𝑥 =𝑥𝑛+1
,则
0≡𝑓(𝑥𝑛+1)≡𝑎𝑛𝑛∏𝑖=1(𝑥𝑛+1−𝑥𝑖)(mod𝑝)
而右侧显然不是 𝑝
的倍数,因此假设矛盾.
推论 3
若同余方程 ∑𝑛𝑖=0𝑏𝑖𝑥𝑖 ≡0(mod𝑝)
的解数大于 𝑛
,则
(∀𝑖=0,1,…,𝑛), 𝑝∣𝑏𝑖.
定理 4
方程 (6)
若解的个数不为 𝑝
,则必存在满足 deg𝑟 <𝑝
的整系数多项式 𝑟(𝑥)
使得 𝑓(𝑥) ≡0(mod𝑝)
和 𝑟(𝑥) ≡0(mod𝑝)
的解集相同.
证明
不妨设 𝑛 ≥𝑝
,对 𝑓(𝑥)
做多项式带余除法
𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥)(𝑥𝑝−𝑥)+𝑟(𝑥)
其中 deg𝑟 <𝑝
.
由 Fermat 小定理 知对任意整数 𝑥
有 𝑥𝑝 ≡𝑥(mod𝑝)
,从而
- 若 𝑟(𝑥) ≡0(mod𝑝)
,则由 推论 2 可知 𝑓(𝑥)
有 𝑝
个不同的解. - 若 𝑟(𝑥) ≢0(mod𝑝)
,则由 𝑓(𝑥) ≡𝑟(𝑥)(mod𝑝)
可知 𝑓(𝑥)
和 𝑟(𝑥)
的解集相同.
我们可以通过这个定理对同余方程降次.
定理 5
设 𝑛 ≤𝑝
,则方程
𝑥𝑛+𝑛−1∑𝑖=0𝑎𝑖𝑥𝑖≡0(mod𝑝)(7)
有 𝑛
个解当且仅当存在整系数多项式 𝑞(𝑥)
,𝑟(𝑥) (deg𝑟 <𝑛)
使得
𝑥𝑝−𝑥=𝑓(𝑥)𝑞(𝑥)+𝑝𝑟(𝑥).(8)
证明
对于非首一多项式,由于 𝐙𝑝
是域,故可以将其化为首一多项式,从而适用该定理.
定理 6
设 𝑛 ∤𝑝 −1
,𝑝 ∤𝑎
,则方程
𝑥𝑛≡𝑎(mod𝑝)(9)
有解当且仅当
𝑎𝑝−1𝑛≡1(mod𝑝).
而且,若 (9)
有解,则解数为 𝑛
.
Note
方程 (9)
解集的具体结构可参见 k 次剩余.
证明
高次同余方程(组)的求解方法
首先我们可以借助 中国剩余定理 将求解 同余方程组 转为求解 同余方程,以及将求解模 合数 𝑚
的同余方程转化为求解模 素数幂次 的同余方程.之后我们借助 定理 1 将求解模 素数幂次 的同余方程转化为求解模 素数 的同余方程.
结合模素数同余方程的若干定理,我们只需考虑方程
𝑥𝑛+𝑛−1∑𝑖=0𝑎𝑖𝑥𝑖≡0(mod𝑝)
的求法,其中 𝑝
是素数,𝑛 <𝑝
.
我们可以通过将 𝑥
代换为 𝑥 −𝑎𝑛−1𝑛
来消去 𝑥𝑛−1
项,从而我们只需考虑方程
𝑥𝑛+𝑛−2∑𝑖=0𝑎𝑖𝑥𝑖≡0(mod𝑝)(10)
的求法,其中 𝑝
是素数,𝑛 <𝑝
.
参考资料
- Congruence Equation -- from Wolfram MathWorld
- Lagrange's theorem (number theory) - Wikipedia
- 潘承洞,潘承彪.初等数论.
- 冯克勤.初等数论及其应用.
- 闵嗣鹤,严士健.初等数论.
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