括号序列

定义一个合法括号序列（balanced bracket sequence）为仅由和构成的字符串且：

空串 $\varepsilon$ 是一个合法括号序列。
如果是合法括号序列，那么也是合法括号序列。
如果都是合法括号序列，那么也是合法括号序列。

例如是合法括号序列，而不是。

有时候会有多种不同的括号，如 $[()]\{\}$ 。这样的变种括号序列与朴素括号序列有相似的定义。

本文将会介绍与括号序列相关的经典问题。

注：英语中一般称左括号为 opening bracket，而右括号是 closing bracket。

判断是否合法

判断是否为合法括号序列的经典方法是贪心思想。该算法同样适用于变种括号序列。

我们维护一个栈，对于 $i=1,2,\ldots,|s|$ 依次考虑：

如果是右括号且栈非空且栈顶元素是对应的左括号，就弹出栈顶元素。
若不满足上述条件，则将压入栈中。

在遍历整个后，若栈是空的，那么就是合法括号序列，否则就不是。时间复杂度。

合法括号序列计数

考虑求出长度为的合法括号序列的个数。不妨枚举与匹配的括号的位置，假设是。它将整个序列又分成了两个更短的合法括号序列。因此

f_n=\sum_{i=0}^{n-1}f_if_{n-i-1}

这同样是卡特兰数的递推式。也就是说 $f_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ 。

当然，对于变种合法括号序列的计数，方法是类似的。假设有种不同类型的括号，那么有 $f'_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}k^n$ 。

字典序后继

给出合法的括号序列，我们要求出按字典序升序排序的长度为的所有合法括号序列中，序列的下一个合法括号序列。在本问题中，我们认为左括号的字典序小于右括号，且不考虑变种括号序列。

我们需要找到一个最大的使得是左括号。然后，将其变成右括号，并将这部分重构一下。另外，必须满足：中左括号的数量大于右括号的数量。

不妨设当变成右括号后，中左括号比右括号多了个。那么我们就让的最后个字符变成右括号，而则用 $((\dots(())\dots))$ 的形式填充即可，因为这样填充的字典序最小。

该算法的时间复杂度是。

参考实现

bool next_balanced_sequence(string& s) {
  int n = s.size();
  int depth = 0;
  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    if (s[i] == '(')
      depth--;
    else
      depth++;

    if (s[i] == '(' && depth > 0) {
      depth--;
      int open = (n - i - 1 - depth) / 2;
      int close = n - i - 1 - open;
      string next =
          s.substr(0, i) + ')' + string(open, '(') + string(close, ')');
      s.swap(next);
      return true;
    }
  }
  return false;
}

字典序计算

给出合法的括号序列，我们要求出它的字典序排名。

考虑求出字典序比小的括号序列的个数。

不妨设且 $\forall 1\le j<i,p_j=s_i$ 。显然是左括号而是右括号。枚举（满足为右括号），假设中左括号比右括号多个，那么相当于我们要统计长度为且存在个未匹配的右括号且不存在未匹配的左括号的括号序列的个数。

不妨设表示长度为且存在个未匹配的右括号且不存在未匹配的左括号的括号序列的个数。

通过枚举括号序列第一个字符是什么，可以得到的转移：。初始时。其实是 OEIS - A053121。

这样我们就可以计算字典序了。

对于变种括号序列，方法是类似的，只不过我们需要对每个考虑比它小的那些字符进行计算（在上述算法中因为不存在比左括号小的字符，所以我们只考虑了为右括号的情况）。

另外，利用数组，我们同样可以求出字典序排名为的合法括号序列。

本页面主要译自博文 http://e-maxx.ru/algo/bracket_sequences 与其英文翻译版 Balanced bracket sequences。其中俄文版版权协议为 Public Domain + Leave a Link；英文版版权协议为 CC-BY-SA 4.0。

本页面最近更新：2023/2/18 07:57:07，更新历史
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